Taux d'accroissement

Propriété

On considère une fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$  par $f(x)=mx+p$  ( $m$ et $p$ étant deux réels) et deux réels distincts $x_1$ et $x_2$ .

Le taux d’accroissement ${\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}$  de la fonction $f$ entre les valeurs  $x_1$ et $x_2$  est égal à $m$  ; c’est le coefficient directeur de la droite représentant la fonction $f$ .

Démonstration

Soit $f$ définie sur   $\mathbb{R}$  par   $f(x)=mx+p$  ( $m$ et $p$ étant deux réels) et deux réels distincts $x_1$ et $x_2$ .

  $f(x_2)=m{x}_2+p$  et    $f(x_1)=m{x}_1+p$

On a donc, $x_1$ et $x_2$  étant différents :  

${\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}={\displaystyle \frac{m{x}_2+p-(m{x}_1+p)}{x_2-x_1}}={\displaystyle \frac{m{x}_2+p-m{x}_1-p}{x_2-x_1}}$
  
${\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}={\displaystyle \frac{m{x}_2-m{x}_1}{x_2-x_1}}={\displaystyle \frac{m(x_2-x_1)}{x_2-x_1}}=m$

Remarque

A ( $x_1;f(x_1)$ ) et B ( $x_2;f(x_2)$ ) sont deux points de la droite représentant la fonction $f$ .
${\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=m$
L’accroissement des ordonnées  $y_2-y_1$ est noté  $\mathrm{\Delta }y$  et l’accroissement des abscisses  $x_2-x_1$ est noté  $\mathrm{\Delta }x$ . Ainsi, si   $x_2-x_1$ = 1, alors  $y_2-y_1=m$ et $m$ peut donc être déterminé graphiquement (voir méthode 2).

Remarque  

Une fonction affine modélise un phénomène continu dont le taux d'accroissement est constant : on parle de croissance linéaire.